初三数学菱形矩形正方形(初二数学矩形菱形正方形)

一、矩形、菱形、正方形的性质

1.矩形的性质

具有平行四边形的全部性质；

长方形的四个角都是直角；

长方形的对角线相等；

矩形是有两条对称轴的轴对称图形；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2.菱形的性质

具有平行四边形的全部性质；

菱形的四条边相等；

菱形的两条对角线相互垂直，且每条对角线平分一组对角；

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线为其对称轴；

菱形的面积=底高=对角线乘积的一半。

3.正方形的性质

正方形具有平行四边形、长方形和菱形的所有性质

边：四边相等且相对边平行；

角度：四个角均为直角；

对角线：互相平分；平等的；且垂直；每条对角线平分一组对角，即对角线与正方形边的夹角为45度；

正方形是有四个对称轴的轴对称图形。

例1在矩形ABCD中，DEAC在E中，且ADE:EDC=3:2，则BDE的次数为()

A。360B.90

约270约180

例2如图所示，在矩形ABCD中，AEBD在E点，对角线AC和BD交于O点，BE:ED=1:3，AB=6cm，求AC的长度。

例3如图所示，O为矩形ABCD对角线的交点，AE平分BAD，AOD=120，求AEO的次数。

例4菱形的周长为40厘米，相邻两个角的比为1:2，则较短对角线的长度为________。

例5如图所示，在正方形ABCD中，G为BC上任意一点，连接AG、DEAG于E，BFDE与AG相交于F，探究线段AF、BF、EF，并给出理由。

二、矩形、菱形、正方形的判定

1.矩形的判定

内有直角的平行四边形是矩形；

对角线相等的平行四边形是矩形；

三个直角的四边形是矩形；

还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

2.菱形的判定方法

相邻边相等的平行四边形的集合是菱形；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

四边相等的四边形是菱形；

被对角线垂直平分的四边形是菱形。

3.正方形的判定

菱形+矩形的一个特征；

菱形+矩形的一个特征；

平行四边形+一个直角+一组相邻边相等。

声明四边形是正方形的大致思路是：首先判断它是矩形，然后判断该矩形也是菱形；或者先判断是菱形，再判断菱形也是矩形。

例1、如图所示，在ABC中，AB=AC，D点为边BC的中点，分别过A、D点画BC、AB平行线，交于E点，连续EC、AD。

证明：四边形ADCE是长方形。

例2、如图所示，在ABC中，C=90，AD平分BAC，EDBC，DF//AB。

证明：AD和EF互相垂直平分。

例3、已知图中，ABC，ACB=900，AD为角平分线，点E、F分别在AB、AD上，AE=AC，EFBC。

证明：四边形CDEF是菱形。

三、矩形、菱形、正方形与函数综合题

1.运用长方形、菱形、正方形的知识解决函数问题；

2.运用函数知识解决矩形、菱形、正方形问题；

例1、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，B点在y轴的正半轴上，A点在反比例函数y=(k>0,x>0)在的图像上，D点的坐标为(4,3)。

(1)求k的值；

(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图上时，求平移距离为沿x轴正方向的菱形ABCD。

例2.如图所示，B点和C点分别在两条直线y=2x和y=kx上。点A和D是x轴上的两个点。已知四边形ABCD是正方形，所以k值为______。

实施例3已知A点和B点分别是x轴和y轴上的移动点，C点和D点是某个函数的图形上的点。当四边形ABCD（A、B、C、D点依次排列）是正方形时，这个正方形称为该函数图像的伴生正方形。例如：如图所示，正方形ABCD是线性函数y=x+1的图形的伴生正方形之一。

(1)如果一个函数是线性函数y=x+1，求其图像的所有伴生方块的边长；

(2)若函数为反比例函数，则其图的伴方为ABCD，且点D(2,m)(m<2)在反比例函数的图上。求出m的值和反比例函数的解析表达式。

四、矩形、正方形的翻折

1、从折叠中求出对称轴，利用对称性求出等式关系。

2.利用等式关系建立方程来解决问题。

例1如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点。沿直线BE对折ABE，得到GBE。延伸BG并与CD相交于F点。若CF=1，FD=2，则BC的长度为（）

A。36B26

C.25D23

例2如图所示，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，E点为BC上的移动点，沿AE折叠ABE，此时B点对应的点B落在角平分线上ADC时，B点到BC的距离为()

A.1或2B.2或3

C.3或4D.4或5

例3如图所示，边长为1的正方形ABCD中，E为边AD上的一点，与BE相连，将ABE沿BE对折，A点恰好落在对角线上的F点BD。AF的延长线与CD边相交于G点，FE的延长线与BA的延长线相交于H点，则有如下命题：BFH是等腰直角三角形；ADFFHA；DFG=60；DE=2-2；SAEF=SDFG。其中，正确的说法是（）

A。1B2

C.3D4

例4四边形ABCD是正方形，MAN=45，其两条边AM、AN分别与CB、DC相交，与M、N点相交，连接MN，画AHMN，垂脚为H点。

（1）如图1所示，AH和AB之间的数量关系是什么？并证明这一点。

(2)如图2所示，已知BAC=45，ADBC在D点，BD=2，CD=3，求AD的长度。

五、综合运用

1.计算。使用矩形、菱形和正方形中的等腰三角形和直角三角形进行计算。

2.证明。利用矩形、菱形、正方形的性质和判断，结合全等三角形、等腰三角形、等边三角形的知识来展开证明。

3.探索。利用有关长方形、菱形、正方形等的知识来探索。

例1在数学兴趣小组活动中，小明进行了数学探索活动。将边长为2的正方形ABCD和边长为2的正方形AEFG如图1所示放置。AD和AE在同一条直线上，AB和AG在同一条直线上。在一条直线上。

(1)小明发现了DGBE，请帮他解释一下原因。

（2）如图2所示，小明绕A点逆时针旋转正方形ABCD，当B点恰好落在线段DG上时，请帮他求此时BE的长度。

（3）如图3所示，小明继续绕A点逆时针旋转正方形ABCD，线段DG和线段BE将在H处相交。写出GHE和GHE的面积之和的最大值BHD，并简要说明原因。

例2有两个等腰直角三角形ADE和ABC，有一个公共顶点，其中ACB和AED=90，且AC=BC，AE=DE，CFAB在F中，M为线段BD中点，连接CM、EM。

(1)如图1所示，当A、B、D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度；

(2)如图1所示，当A、B、D在同一直线上时，验证：CM=EM；

(3)如图2所示，当A、B、D在同一直线上时，请探究CM、EM的数量关系和位置关系。请先给出结论，然后再证明。