不等式的概念及其性质(不等式的性质和概念)
这部分小学没接触过,是全新的内容,不过不用担心,一开始的内容比较简单。
知识点
不等式的相关概念
1.定义
用不等号表示不等关系的表达式称为不等式。不等号包括“”“”“”“”“”。
[示例]rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='3lt;4#xFF0C;2x#x2265;50#xFF0C;a#x2212;2#x2260;a+2'角色='演示',34,2x50,a2a+234,2x50,a2a+2等
“注意”
当我们判断一个表达式是否为不等式时,只需看是否有不等号即可。这与这个公式是否正确无关。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='3#xFF1E;10'role='presentation'310310是一个矛盾,但仍然是一个不等式。
对于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='#x2265;'role='presentation'\geq和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据-mathml='#x2264;'role='presentation'\leq,它们代表的就是“大于等于”;“小于或等于”。如果满足两个条件中的任何一个,则为真。例如rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='3#x2264;5'角色='演示'353\leq5和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='5#x2264;5'role='presentation'555\leq5均成立。
“”不是不等式。
2.不等式的解和解集
不等式的解:使不等式成立的未知数称为不等式的解。
不等式的解集:包含未知数的不等式的所有解构成该不等式的解集。
解是一个固定值,解集是一个包含无数组解的范围。
[示例]4是不等式6'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='2xgt;6'role='presentation'2x62x6解,这个不等式的解集为3'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='xgt;3'角色='演示'x3x3.
求解不等式:找到不等式解集的过程称为求解不等式。
不等式的解集可以用数轴表示:
不等式的基本性质
基本性质1:不等式两边加(或减)相同的数(或式),则不等号的方向不变。
如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab,然后bc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='a#xB1;cgt;b#xB1;c'role='presentation'acbcacbc
基本性质2:如果不等式两边都乘(或除)同一个正数,则不等号的方向不变。
如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab和0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='cgt;0'role='presentation'c0c0,然后bc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='acgt;bc'角色='presentation'acbcacbc(or\fracbc'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;position:相对;color:绿色;'data-mathml='acgt;bc'role='presentation'acbc\fracac\fracbc)
基本性质3:当不等式两边都乘(或除)同一个负数时,不等号的方向发生变化。
如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='clt;0'role='presentation'c0c0,然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='aclt;bc'角色='演示'acbcacbc(或rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;position:相对;color:绿色;'data-mathml='aclt;bc'role='presentation'acbc\fracac\fracbc)
“注意”
对于包含“”的不等式,乘(或除)非0的数仍将是“”。2.如果不等式两边同时乘以0,则不等式变为方程。
这一部分的知识点非常多,我们来看一些例子。
例1:将不等式ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='x#x2A7E;#x2212;1'role='presentation'x1x-1在数轴上表示。正确的是()极简分析:根据以上知识点,“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-block;position:relative;color:green;'数据-mathml='#x2265;'role='presentation'\geq"应该是实点,所以排除A和B。
“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;position:相对;color:绿色;'数据-mathml='#x2265;'role='presentation'\geq"应该指向它,它是右偏的,所以选择C。
解:C.
例2:下列说法正确的是()
A、如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab,然后1'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='abgt;1'role='presentation'ab1\fracab1B.如果b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab,则20183b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='2018#x2212;3agt;2018#x2212;3b'角色='演示'20183a20183b20183a20183bC.ifb'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='agt;b'role='presentation'abab,然后bc^2'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='ac2gt;bc2'role='presentation'ac2bc2ac^2bc^2D.如果bc^2,则b'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='ac2gt;bc2#xFF0C;#x5219;agt;b'role='presentation',thenac2bc2,thenabac^2bc^2,thenab极简分析:这样的问题测试不等式的基本性质,而且很容易出错。做题的时候一定要了解每个选项是如何转化的,并且要仔细思考每种情况。
选项A显然给不平等的双方都增加了风险。tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='b'role='presentation'bb,但我们不确定rame'tabindex='0'style='font-size:100%的符号;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='b'role='presentation'bb,不知道是否要改数字,所以A错了。
选项B:先给两边不等式ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x00D7;(#x2212;3)'role='presentation'(3)\times(-3),这次你应该更改"'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;position:相对;color:绿色;'data-mathml='gt;'role='presentation'”变为“rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'数据数学='lt;'role='presentation'”,那么等式两边都是相同的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='+2018'role='presentation'+2018+2018,不等号方向不变,仍然是“rame”tabindex='0'style='font-size:100%;display:inline-块;position:相对;color:绿色;'数据-mathml='lt;'role='presentation'",所以B错误。
C选项同时rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x00D7;c2'role='presentation'c2\timesc^2,而rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='c2#x2265;0'角色='演示'c20c^2\geq0,如果rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='c=0'role='presentation'c=0c=0,那么不等式就会变成一个方程。
D选项同时rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='#x00F7;c2'role='presentation'c2\divc^2,和rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='c2#x2265;0'role='presentation'c20c^2\geq0,问题中有一个隐式条件告诉我们,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='c#x2260;0'角色='演示'c0c\ne0,所以0'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块;相对位置:color:绿色;'data-mathml='c2gt;0'role='presentation'c20c^20,不等号方向保持不变。D是正确的。
解:选D。
小结:做这类题的时候,一定要思考你所乘或除的数的取值范围,并找到反例来推翻选项。
不平等的概念到这里就结束了。每个人都需要了解不平等并掌握不平等的基本属性。
我是影子老师,跟着我学习更多初中数学吧!
下期预告:数学知识篇20:一元一次不等式
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