2021年新高考一卷数学试卷(2021年新高考二卷数学)

今年，我们将提供国B、新高考I、北京三道试题的逐步解答。我希望读者注意：

不要用试题代替系统学习，否则你将无法正确掌握重点，无法适应任何变化；它不是要记住测试问题和答案，而是要了解当你从未见过类似的问题时如何得出这样的答案。每篇文章包含不超过4个客观问题或1个主观问题。这样做是为了让更多的读者愿意读到最后。通常，如果你不立即完成它，你将永远不会再完成它。

20、如图，假设三棱锥rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A#x2212;BCD'角色='presentation'ABCDA-BCD满足rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x5E73;#x9762;ABD#x22A5;#x5E73;#x9762;BCD,'角色='演示'平面平面ABD平面BCD,平面\,ABD\perp平面\,BCD,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AB=AD,'角色='演示'AB=AD,AB=AD,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='O'role='presentation'OOisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BD'角色='演示'BDBD

中点。

(1)证明rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='OA#x22A5;CD;'role='presentation'OACD;OA\perpCD;(2)Iframe'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x25B3;OCD'role='presentation'OCD\triangleOCDisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1'role='presentation'11等边三角形，点rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='E'角色='演示文稿'边缘rame上的EE'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AD'role='presentation'ADAD，满足rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='DE=2EA,'role='presentation'DE=2EA,DE=2EA,和二面体'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='E#x2212;BC#x2212;D'role='presentation'EBCDE-BC-D的大小是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='45#x2218;'role='presentation'45,45^\circ,求三角金字塔ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A#x2212;BCD'角色='演示'ABCDA-BCD的体积。这道题也不同于通常的三维几何问题。它不再是二面角或线面角的计算，而是使用二面角作为控制几何性质的已知条件。也许你认为这不会有什么影响，但它使得这道题不再像过去那样几乎完全研究固定图形的属性，而增加了动态分析的要求。

证明不同曲面的直线垂直通常需要找到一个穿过其中一条直线并垂直于另一条直线的平面。对于这道题，是平面rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BCD'角色='演示'BCDBCDbyrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='CD,'role='演示文稿'CD,CD,垂直于rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='AO。'角色='演示'AO.AO.

证明rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AO#x22A5;#x5E73;#x9762;BCD,'role='演示'平面AO平面BCD,AO\perp平面\,BCD，可以使用rame'tabindex='0'style='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#x5E73;#x9762;ABD#x22A5;#x5E73;#x9762;BCD,'角色='演示'平面平面ABD平面BCD，平面\,ABD\perp平面\,BCD，还有这个依次需要rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='AO#x22A5;BD。'角色='演示'AOBD.AO\perpBD.

(1)因为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AB=AD,'角色='演示'AB=AD,AB=AD,rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='O'角色='演示文稿'OOisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BD'role='presentation'BDBD的中点，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='AO#x22A5;BD。'角色='演示'AOBD.AO\perpBD.

因为rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据数学='#x5E73;#x9762;ABD#x22A5;#x5E73;#x9762;BCD,'角色='演示'平面ABD平面BCD,平面\,ABD\perp平面\,BCD，所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AO#x22A5;#x5E73;#x9762;BCD,'role='presentation'planeAOplaneBCD,AO\perpplane\,BCD，所以rame'tabindex='0'style='font-尺寸：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='AO#x22A5;CD。'角色='演示'AOCD.AO\perpCD.

分析现有条件，发现曾经rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='OA'role='确定presentation'OAOA将使整个图清晰，从而解决问题。

因此，取rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='OA'role='presentation'OAOA作为未知数，然后使用等式：代表二面角'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='E#x2212;BC#x2212;D'角色='演示文稿的大小'EBCDE-BC-D为随机'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='45#x2218;'角色的条件='presentation'4545^\circ。

（2）取rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='O'role='presentation'OO为原点，以rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='OD'角色='演示'ODOD是随机的'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='y'role='presentation'yy轴，带rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='OA'role='presentation'OAOAisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='z'role='presentation'zz轴建立空间直角坐标系。

让rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='OA=a,'角色='演示'OA=a,OA=a,然后rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A(0,0,a),'角色='演示'A(0,0,a),A\left(0,0,a\right),rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='B(0,#x2212;1,0),'角色='演示'B(0,1,0),B\left(0,-1,0\right),ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='C(32,12,0),'角色='演示'C(32,12,0),\textstyleC\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12,0\right),rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='D(0,1,0),'角色='演示'D(0,1,0),D\left(0,1,0\right),rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='E(0,13,2a3),'角色='演示'E(0,13,2a3),\textstyleE\left(0,\frac13,\frac{2a}{3}\right),平面ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BCD'role='presentation'BCDBCD的法线向量为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='m=(0,0,1),'角色='演示'm=(0,0,1),m=\left(0,0,1\right),rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BC#x2192;=(32,32,0),'角色='演示'BC=(32,32,0),\textstyle\vec{BC}=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac32,0\right),rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='BE#x2192;=(0,43,2a3).'角色='演示'BE=(0,43,2a3).\textstyle\vec{BE}=\left(0,\frac43,\frac{2a}{3}\right)。

假设平面rame的法向量'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='EBC'role='presentation'EBCEBCisrame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n=(u,v,w),'role='presentation'n=(u,v,w),n=\left(u,v,w\right),然后rame'tabindex='0'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='{n#x22C5;BC#x2192;=0,n#x22C5;BE#x2192;=0。'角色='演示'{nBC=0,nBE=0.\begin{cases}n\cdot\vec{BC}=0,\\n\cdot\vec{BE}=0.\结束{案例}

所以rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='{3u2+3v2=0,4v3+2aw3=0,'角色='演示'{3u2+3v2=0,4v3+2aw3=0,\begin{cases}\frac{\sqrt3u}{2}+\frac{3v}{2}=0,\\\frac{4v}{3}+\frac{2aw}{3}=0,\end{cases}解决rame'tabindex='0'样式='字体大小：100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='n=(3a,#x2212;a,2),'角色='演示'n=(3a,a,2),n=\left(\sqrt3a,-a,2\right),二面体'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='E#x2212;BC#x2212;D'角色='presentation'EBCDE-BC-D的余弦为

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='22=m#x22C5;n|m||n|=23a2+a2+4=1a2+1。'角色='演示'22=mn|m||n|=23a2+a2+4=1a2+1.\begin{align}\frac{\sqrt2}2=\frac{m\cdotn}{\left|m\right|\left|n\right|}=\frac{2}{\sqrt{3a^2+a^2+4}}\\=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.\end{对齐}

解决办法是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='a=1,'role='presentation'a=1,a=1,所以三角金字塔rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='A#x2212;BCD'role='presentation'ABCDA-BCD的体积为

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='1312322a=123。'角色='演示'1312322a=123.\frac13\frac12\frac{\sqrt3}22a=\frac{1}{2\sqrt3}。