平面向量三点共线定理应用(平面向量三点共线公式推论)

教育培训 2024-09-08 15:25:39 359 教育网

平面向量三点共线定理，课本上没有明确说明。仅作为例题展示（P26例1必修课2人民教育版）。然而，高考中的向量分解题无疑是向量考核的热门方向之一。这个定理是解决此类问题的有力工具。

该定理描述如下：

我们先看一道真实的高考题，可以直接套用这个定理：

2010年-全国2级（正文）

以上面的问题为例，用这个定理分解解题过程：

找到三个共线点（A、B、D），确定系数x和y之比（利用角平分线的性质）来求解系数组合。但很多情况下不一定能直接应用定理，需要灵活变形。

2008年-广东省（授权）

分析：这道题需要克服的最大问题是如何将三个向量统一成一个三角形。我们通过平移构造b的相等向量。

但是如果遇到三个明显不共线的点我们该怎么办呢？我们可以在定理本身的推导中找到灵感。下面是定理的部分推导（只考虑A在BC之间的情况）

我们知道，一个向量可以通过平行四边形法则分解为两个方向，从而得到一组满足方向要求的基。基于这组底座，我们可以通过调整模具长度来构造新底座在一定方向上的线性组合。

使用共线性定理来确定向量的线性组合相对于平行四边形规则有两个主要优点：

找到一条直线比确定一个平行四边形更容易。该方法确定的系数具有明确的几何意义。基于这个想法，我们可以解决如下一道因计算复杂而闻名的高考题：

2017-江苏

分析：显然A、B、C不共线，但是我们可以扩展OA和OB，找到一组新的满足A、B、C共线要求的向量。将AB和OC设置为垂直可以有效地利用已知的正弦值。问题条件大大简化了计算难度。

基于这个想法，我们可以进一步改编，看一道真实的高考题：

2017年-全国3级（科学）

分析：题目条件很丰富，背景还是矩形。很多学生的第一印象就是建立系统，写出圆的方程，用参数方程写出P点的坐标，给出和的表达式，找到函数的最优值。思路清晰，但计算繁重。

由于B、P、D不共线，所以从三点共线定理的角度来看，很多同学不会选择瓦解。但如果你对向量分解有了更深入的了解，你自然会想到以下想法：首先在AP方向构造一个满足系数和为固定值的向量，然后通过模缩放来改变系数和。事实上，AB和AD的长度与结论无关，是令人困惑的条件。

概括：

平面向量三点共线定理主要用来处理向量分解问题。合理确定共线直线后，可以快速给出一组碱基的线性组合方向。方向是基础的基础，模块长度是我们调整的主要变量。通过改变模长，我们可以快速构造新碱基的线性组合

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