在没有计算器的时候怎么算根号(没有根号的计算器怎么开根号)

高中教我们数学竞赛的老师教我们垂直手算根运算。我第一次看到它时，我觉得这太不可思议了。现在我是一名高中老师，我时不时地用这个技巧在学生面前炫耀我的技能，而且每次都很有效。

取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'以data-mathml='3'role='presentation'3\sqrt{3}为例。

首先发现与自身相乘后，仍然小于rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3'role='presentation'33最大的正整数，显然是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1'role='presentation'11,as第一步求根的结果写在垂直表达式的顶部。取其相乘的结果，从要平方的数开始ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3'role='presentation'33扣除误差值rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2'角色='演示'二十二。这里所谓的误差具体是指当前根结果与平方后实际目标的差异是rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：颜色：绿色；'data-mathml='2'role='presentation'22，即rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3#x2212;12=2'角色='演示'312=23-1^2=2。

rametabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='#xA0;#xA0;1(1))3.000000#x00AF;#xA0;#xA0;1#xA0;#x005F;#xA0;#xA0;2'角色='演示'1(1))3.000000ˉ1_2\begin{align*}\text{}\text{}\color{green}{1}\\(\color{green}{1})\overline{\big)3.000000}\\\text{}\underline{\text{}\color{green}{1}\text{}}\\\text{}\text{}2\end{align*}\\

添加两位数字ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00并获取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='200'角色='演示'200200。取现有结果RAM的两倍'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1'role='presentation'11作为Transition值，写入rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='200'role='presentation'200200侧面，我们得到的是这个rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2'角色='presentation'22放在括号中。

rame'tabindex='0'data-mathml='#xA0;#xA0;1(1))3.000000#x00AF;#xA0;#xA0;1000#x005F;(2#x005F;)02.00'角色='演示'样式='字体大小：100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'1(1))3.000000′1000_(2_)02.00\begin{align*}\text{}\text{}\color{红色}{1}\\({1})\overline{\big)3.000000}\\\text{}\下划线{\text{}{1}\phantom{000}}\\({\color{red}{2}\_})\phantom{0}2\phantom{.}\color{蓝色}{00}\\\end{align*}\\

接下来想想如何在这个过渡值rame后面添加最大个位数'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'角色='演示'XX，使rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='2X#x00D7;X'角色='演示'2XX2X\times='演示'200200小。注意rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='27#x00D7;7=189lt;200'角色='演示'277=18920027\times7=189200，但200'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='28#x00D7;8=224gt;200'role='presentation'288=22420028\times8=224200，所以这里要填写的值为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='7'角色='演示'77。

该数字是从根开始的下一个有效数字。愉快地移到了垂直结构的顶部，得到了精度稍高的根结果ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='1.7'角色='演示'1.71.7。

趁势改变rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='189'角色='演示'189189来自rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='200'role='presentation'200200减去错误值11进行下一步处理。填写小数点，不难验证，rame'tabindex='0'style='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3#x2212;1.72=3#x2212;2.89=0.11'角色='演示'31.72=32.89=0.113-1.7^2=3-2.89=0.11。

rametabindex='0'data-mathml='01.7(1))3.000000#x00AF;#xA0;#xA0;1000#x005F;(27)02.00#xA0;#xA0;1.890#x005F;00.11'角色='演示文稿样式='font-size:100%；display:内联块；相对位置：color:绿色；'01.7(1))3.000000′1000_(27)02.001.890_00.11\begin{align*}\phantom{0}{\color{red}{1}}.\color{green}{7}\\(1)\overline{\big)3.000000}\\\text{}\underline{\text{}1\phantom{000}}\\({\color{red}{2\color{green}{7}}})\phantom{0}2\phantom{.}\color{blue}{00}\\\text{}\text{}\underline{\color{green}{1\phantom{.}89}\phantom{0}}\\\phantom{00.}11\end{align*}\\

添加两位数字ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='0'role='presentation'00并获取rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1100'角色='演示'11001100。取现有结果RAM的两倍'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='17'role='presentation'1717作为新的过渡值，获取此rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='34'角色='presentation'3434。

rame'tabindex='0'data-mathml='01.7(1))3.000000#x00AF;#xA0;#xA0;1000#x005F;(27)02.00#xA0;#xA0;1.89.00#x005F;(34#x005F;)00.1100'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'01.7(1))3.000000′1000_(27)02.001.89.00_(34_)00.1100\begin{align*}\phantom{0}{\color{red}{1}}.\color{red}{7}\\(1)\overline{\big)3.\,000000}\\\text{}\underline{\text{}1\phantom{000}}\\(27)\phantom{0}2\phantom{.}{00}\\\text{}\text{}\underline{1\phantom{.}89\phantom{.}\phantom{00}}\\(\color{red}{34\_})\phantom{00.}11\color{蓝色}{00}\\\end{align*}\\

然后继续思考过渡值rame应该加什么个位数'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'角色='演示'XX。注意rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='343#x00D7;3=1029lt;1100'角色='演示'3433=10291100343\times3=10291100，但1100'rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'数据-mathml='344#x00D7;4=1376gt;1100'role='presentation'3444=13761100344\times4=13761100，所以这里要填写的值为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3'角色='演示'33。

这样就从根中得到了一个新的有效数字。

同理可以验证，本步骤得到的结果为rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='1.73'role='演示'1.731.73，平方和期望值rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3'role='presentation'33之间的错误为：rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='3#x2212;1.732=3#x2212;2.9929=0.0071'role='presentation'31.732=32.9929=0.00713-1.73^2=3-2.9929=0.0071，这是误差值稍后会进行处理。

rame'tabindex='0'data-mathml='01.73(1))3.000000#x00AF;#xA0;#xA0;1000#x005F;(27)02.00#xA0;#xA0;1.89.00#x005F;(343)00.11000.01029#x005F;0000.71'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'01.73(1))3.000000′1000_(27)02.001.89.00_(343)00.11000.01029_0000.71\begin{align*}\phantom{0}{\color{red}{1}}.\颜色{红色}{7}\颜色{绿色}{3}\\({1})\overline{\big)3.000000}\\\text{}\underline{\text{}1\phantom{000}}\\(27)\phantom{0}2\phantom{.}{00}\\\text{}\text{}\underline{1\phantom{.}89\phantom{.}\phantom{00}}\\(\color{红色}{34}\color{绿色}{3})\phantom{00.}11\color{蓝色}{00}\\\phantom{0.0}\underline{\color{绿色}{1029}}\\\phantom{0000.}71\end{对齐*}\\

通过无限重复此操作，您可以手动计算任意精度的根。

rame'tabindex='0'data-mathml='01.732(1))3.000000#x00AF;#xA0;#xA0;1000#x005F;(27)02.00#xA0;#xA0;1.89.00#x005F;(343)00.11000.0102900#x005F;(3462)0000.71000.0006924#x005F;00000.176'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'01.732(1))3.000000ˉ1000_(27)02.001.89.00_(343)00.11000.0102900_(3462)0000.71000.0006924_00000.176\begin{align*}\phantom{0}{\color{红色}{1}}.\color{红色}{73}\color{绿色}{2}\\({1})\overline{\big)3.000000}\\\text{}\underline{\text{}1\phantom{000}}\\(27)\phantom{0}2\phantom{.}{00}\\\text{}\text{}\underline{1\phantom{.}89\phantom{.}\phantom{00}}\\(343)\phantom{00.}1100\\\phantom{0.0}\underline{{1029}\phantom{00}}\\(\color{red}{346}\color{绿色}{2})\phantom{0000.}71\color{blue}{00}\\\phantom{0.000}\underline{\color{green}{6924}}\\\phantom{00000.}176\end{对齐*}\\

所以有

rame'tabindex='0'data-mathml='3=1.732#x22EF;'角色='演示'样式='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'3=1.732\sqrt{3}=1.732\cdots\\

这组操作的原理其实并不复杂。它的核心是一个相当简单的代数恒等式。

rame'tabindex='0'data-mathml='(10a+b)2=100a2+(20a+b)#x00D7;b(#x2217;)'角色='演示文稿'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'(10a+b)2=100a2+(20a+b)b(*)(10a+b)^2=100a^2+(20a+b)\timesb\qquad(*)\\

对于一个待解的数，如果我们已经找到了初步的结果，我们如何修正这个结果呢？在这里，如果你把rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(#x2217;)'角色='演示'(*)(*)rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='10a'role='presentation'10a10aview对于已有的根结果，rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='b'role='presentation'bb是要找到的下一个有效数字。前面竖根操作使用的transition值实际上来自rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(#x2217;)'公式中的角色='演示'(*)(*)ram'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='20a+b'role='presentation'20a+b20a+b此项，以及过渡值中组成的个位数tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='X'role='presentation'XX，你所做的实际上是在补rame'tabindex='0'style='font-size:100%;display:内联块；相对位置：color:绿色；'data-mathml='(20a+b)#x00D7;b'role='presentation'(20a+b)b(20a+b)\timesb这是纠错操作。这样，为了获得下一个有效数字，我们可以在精度提高一后继续对现有结果进行相同的操作，继续提高根的精度。

想了想，如果我能用知乎的公式编辑器打出这堆竖版布局，今晚我得给自己加个鸡腿了！