三角形重心例题和答案(三角形重心高中常用规律)

三角形重心性质的表现——2022年上海市中考数学第25题

在教学过程中，我最怕遇到这样的学生。他们一看到某张图，连题目要求都不看就加辅助线。如果他们碰巧做对了，他们会告诉我，这个问题就这么简单，一下子就出来了某个模型；如果做不好，你就开始尝试给各种模型添加辅助线，直到遇到死老鼠；当然，也有可能你根本就没有遇到过那只死老鼠，所以我只能白白累死。

那些看似某个模型的期末题，却没有采用那个模型的套路，正是这类学生的克星。

话题

平行四边形ABCD，若P为BC的中点，则AP与BD交于E点并连接CE。

(1)若AE=CE。

证明：平行四边形ABCD是菱形；

若AB=5，AE=3，求线段BD的长度；

(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆。两个圆的另一个交点记为F点，CE=2AE。如果F在直线CE上，则求AB:BC值的值。

分析：

(1)给定条件AE=CE，原平行四边形ABCD的形状发生了变化，如下所示：

连接交流电。由AE=CE可知AEC是等腰三角形。然后平行四边形的对角线互相平分，可得O点为AC的中点。最后，这三条线的组合证明了OEBD，即ACBD，现在是平行的。四边形ABCD的对角线互相垂直，所以是菱形；

根据上述证明的菱形，观察AB和AE。它们的共同点是都是直角三角形的斜边，分别为RtAOB和RtAOE。同时，这两个三角形也有一条公共边OA，其他直角边都在BD上，这让人想起勾股定理，如下图：

在RtAOB中，OA2=AB2-OB2=25-OB2，在RtAOE中，OA2=AE2-OE2=9-OE2，我们得到25-OB2=9-OE2，我们来整理一下：

OB-OE=16

(OB+OE)(OB-OE)=16

写到这里，OB和OE之间有数量关系吗？

再看ABC。AP是它的中心线，BO也是它的中心线。两条中心线相交，交点就是重心。如果你能想到重心的性质，它将每条中心线分成1：2的两部分，这题就会很容易；

由重心性质可得BE=2OE，故OB=3OE，则上式可变为8OE=16，求解OE=2，故OB=32，BD=62；

为什么重心可以将每条中心线分成1：2的两部分？我们可以用面积法来证明这一点：

上图中，ABC的三条中线相交于O点。每条中线将ABC分成面积相等的两部分。例如，ABE和ACE的面积相等。同样，对于OBC来说，OE也是它的中线，所以OBE、AOB和AOC的面积相等，AOB和AOC的面积也相等。可以证明，上图中6个小三角形的面积都相等，其中AOB占1/3，OBE占1/6。它们的高度相同，所以基比为2:1，即OA:OE=2:1，其余同理即可证明；

（2）我们先根据题目要求画图，如下：

事实上，这两个圆圈的主要作用是引起人们对公共和弦EF的注意。由于课本上没有给出常用和弦的性质，所以需要一个简单的证明；

在A圈中，AE=AF，在B圈中，BE=BF。A点和B点到线段EF两端的距离相等，所以AB是EF的垂直平分线。

前面已经证明了ABC的重心是E点，在本题中仍然成立，所以CH也是ABC的中心线，即H点是AB的中点。现AB与EF互相垂直平分，即四边形AFBE是菱形；

现在我们不再需要这两个圆圈，而专注于利用好菱形，如下图：

在BCF中，点P为BC边的中点，PEBF，可得PE为BCF的中线。假设AE=x，则CE=2x，则EF=2x，EH=2/2·x，现在看AEH。显然这是一个等腰直角三角形。求AH=2/2·x，故AB=2x；

在RtBCH中，利用勾股定理可得BC=BH+CH，其中BH=2/2·x，CH=32/2·x，BC=5x；

最后，我们发现AB:BC=10/5。

解决问题的反思：

这道几何压轴题还是有点难的。理解的关键点是三角形重心的性质。当我们学习三角形的重心时，印象最深刻的是它是三条中线的交点。然而，这个交叉点对于每条中线都很重要。分段，接触少的话就不太记得了。尤其是第二题，判断点H也是AB的中点。仍然是基于“三中线相交于一点”的简单原理。

当然，解释完这个问题后，我会觉得就这么简单，知道了重点。为什么我在解决问题的时候没有想到呢？让我们回到焦点部分。课本上是怎样描述的？课本练习中出现过吗？它是如何使用的？为什么我们平时的作业或者考试中不能这样测试呢？就因为你不参加这样的考试，你不这么认为吗？……

经过一系列的问题之后，我想必已经找到了部分原因。初中数学知识点很多。以前也有过实践和总结，但不能变成套路。理解每个模型的本质以及它为何成为模型至关重要。

再次强调，我并不反对解题模式，但如果是学生自己推导出来的，就不能由老师灌输。如果把解题模式视为武术的招式，那么最高境界应该是“有招胜无招”。

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